等价无穷小泰勒公式

Question

等价无穷小泰勒公式

Answer 1

可以用泰勒公式求等价无穷小.
比如e^x-1～x
实际过程是这样求得的：
e^x 在x=0用泰勒公式展开到二阶：e^x=1+x+(1/2)x^2+o(x^2)
所以e^x-1=x+(1/2)x^2+o(x^2)
显然：lim(x→0) [x+(1/2)x^2+o(x^2) ]/x=1
所以e^x-1～x
类似sinx～x,tgx～x,1-cosx～(1/2)x^2,ln(x+1)～x,(1+x)^n-1～nx,都可以用麦克劳林公式展开求得.
求极限时经常用等价无穷小来代换,但这种代换一般仅仅适用于因式之间的代换,对于加减运算来说则不适用,此时泰勒公式的展开式代换则可以发挥作用.