n元齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件

Question

n元齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件

Answer 1

有非零解 ,也就是R(A)小于N.
1. 那么方程的个数要小于未知数的个数（直观上看这个方程组是扁而长,）
2.等价于A的列向量线性相关
（对系数矩阵A做列分块可得向量形式：a1x1+a2x2+~~~+anxn=0）
3.一旦R（a）小于N成立,那么系数矩阵的行列式肯定为0（这个条件不是很完美,因为行列式求值要求N行N列,方程组不一定以这种形式出现,最重要的就是把握系数矩阵的秩,
非零秩小于N,
零 秩等于N.
一般也就这三条
拓展的话,再加上对系数矩阵的研究,
比如特征值 特征值的乘积为行列式的值,咱们假如他就是N行N列的系数矩阵,
那么就有A的特征值里面必有0.
再进一步找特殊,
咱们假如系数矩阵的秩为1,我们又能得到系数矩阵的主对角线元素和为1 .
（迹的概念 矩阵相似那一块提到的）.
齐次和非齐次的结合
AX=0 解的情况是看秩 1.零解 满秩 2. 非零解 不满秩
那么 AX=b 解的情况也是看秩 ,只不过多了无解的情况,
1,R（A）=R（A的增广） 有解
小于N,无穷多解
等于N ,一个
2,R（A）不等于R（A的增广） ,（若不等,必是增广的秩比系数的秩多1）
R(A)+1=R(A的增广)

1.非齐次的通解=齐次方程的通解+非齐次的特解
2.非齐次通解的差值,为齐次方程组的解（上面那句话的延伸,做差自己能看出来,干掉非齐次的特解）齐次方程组解的线性组合还为齐次方程组的解.
3.齐次的解不能够表示非齐次的解.
比如 M是AX=b的一个解
,N1,N2,Ns 是AX=0的基础解系
M能用N1,N2 ,Ns 表示吗? 肯定不能,证明,假设能,M=K1N1+K2N2+,+KsNs
两边同左乘A,等号左边AM=b
等号右边A（K1N1+K2N2+,KsNs）=0
0不等于b 矛盾
解的结构,尤其是非齐次的解,
1,先要知道齐次方程组有多少个基础解系
N-R(A)
2,大致写出非齐次解的模样
（）+k1()+k2()+,+kn()
3,往括号里面填数字
对于齐次要有差的思维 非齐次的差 另外还要注意非齐次解的个数问题,比如
P,O,I 为AX=b 的三个解 R(A)=3 给你P+O=(1234)T O+3I=（2345)T
求AX=b 的通解
首先写出大致模样,齐次方程的基础解系有几个?4-R(A)=1
故 ()+K()
先算右边的括号 这是齐次的基础解系 直白点也就是齐次的解 所给条件一个是两个解的和
一个是三个解的和.显然不能直接减,个数都不对,做差那不范二吗.先做成个数一样的,最小公倍化 都变为6个解的和然后做差 也就是P+O 乘以3减去O+3I乘以2
再算左边的括号,左边括号,要有 除的思维 和差的思维
除 两个解的和,除以二
三个解的和,除以三
差 大减小,胜出一个 解来就行

时间紧,就写这些了