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平面直角坐标系的原点为O,在抛物线Y=1/2x^2上取一点P,在X轴上取一点A,使OP=PA,过A点作X轴的垂线与直线OP交于Q,当△APQ为正三角形时,求△APQ的面积
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平面直角坐标系的原点为O,在抛物线Y=1/2x^2上取一点P,在X轴上取一点A,使OP=PA,过A点作X轴的垂线与直线OP交于Q,当△APQ为正三角形时,求△APQ的面积
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答案和解析
答:
因为:AQ⊥OA
所以:∠OAQ=90°
因为:OP=PA,△APQ是正三角形
所以:OP=PA=PQ
所以:点P是斜边OQ的中点
因为:△APQ是正三角形
所以:∠OQA=60°,∠QOA=30°
所以:OA=√3AQ
设抛物线上点P为(p,p^2 /2),则点A为(2p,0)
tan∠QOA=(p^2/2) /p=tan30°=√3/3
所以:p=2√3/3
所以:OA=4√3/3,AQ=4/3
所以:△APQ面积S=(4/3)*(4/3)*(√3/2)*(1/2)=4√3/9
所以:△APQ的面积为4√3/9
因为:AQ⊥OA
所以:∠OAQ=90°
因为:OP=PA,△APQ是正三角形
所以:OP=PA=PQ
所以:点P是斜边OQ的中点
因为:△APQ是正三角形
所以:∠OQA=60°,∠QOA=30°
所以:OA=√3AQ
设抛物线上点P为(p,p^2 /2),则点A为(2p,0)
tan∠QOA=(p^2/2) /p=tan30°=√3/3
所以:p=2√3/3
所以:OA=4√3/3,AQ=4/3
所以:△APQ面积S=(4/3)*(4/3)*(√3/2)*(1/2)=4√3/9
所以:△APQ的面积为4√3/9
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