若函数f(x)=1/3x^3-4x+4,讨论关于x的方程f(x)=k在区间[-3,5]内的零点个数

Question

若函数f(x)=1/3x^3-4x+4,讨论关于x的方程f(x)=k在区间[-3,5]内的零点个数

Answer 1

f'(x)=x^2-4
当x≤-2时,f'(x)≥0,函数单调递增
当-2≤x≤2时,f'(x)≤0,函数单调递减
当x≥2时,f'(x)≥0,函数单调递增
∴f(x)在x=-2时取极大值,f(-2)=28/3；在x=2时取极小值,f(2)=-4/3
又f(-3)=7,f(5)=77/3
大概画出f(x)在[-3,5]的图像,可以看出：
当k＞77/3时,方程无解
当28/3＜k≤77/3,方程一个根
当k=28/3时,方程两个根
当7≤k＜28/3时,方程三个根
当-4/3＜k＜28/3时,方程两个根
当x=-4/3时,方程一个根
当x＜-4/3时,方程无解.