求lim（x→0）（cosx）的cscx的平方的次方的极限给点解题步骤谢了.

Question

求lim（x→0）（cosx）的cscx的平方的次方的极限
给点解题步骤谢了.

Answer 1

哎,看招吧,不用洛必达法则都可以算
lim[x→0] (cosx)^(csc²x)
=e^lim[x→0] ln(cosx)^(csc²x),用公式x=e^(lnx)
=e^lim[x→0] (csc²x)ln(cosx),除了e外,注意其他都在指数上的
=e^lim[x→0] ln(cosx)/sin²x
=e^lim[x→0] 2ln(cosx)/(2sin²x)
=e^(1/2)lim[x→0] ln(cos²x)/sin²x
=e^(1/2)lim[x→0] ln(1-sin²x)/sin²x
=e^(-1/2)lim[x→0] ln(1-sin²x)/(-sin²x)
令y=-sin²x,当x→0,y→0
=e^(-1/2)lim[y→0] ln(1+y)/y
=e^(-1/2)lim[y→0] ln(1+y)^(1/y)
=e^(-1/2) ln{lim[y→0] (1+y)^(1/y)}
=e^(-1/2) ln{e},定义e=lim[x→0] (1+x)^(1/x)
=e^(-1/2)
=1/√e