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求In=∫dx/(cosx)^n（n属于N）的递推公式.
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求In=∫dx/(cosx)^n（n属于N）的递推公式.
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答案和解析
L = ∫ dx/cos^n(x) dx = ∫ sec^n(x) dx
= ∫ sec^(n-2)(x) * sec²x dx
= ∫ sec^(n-2)(x) d(tanx)
= sec^(n-2)(x) * tanx - ∫ tanx d[sec^(n-2)(x)]
= sec^(n-1)(x) * 1/secx * sinxsecx - (n-2)∫ tanx * sec^(n-3)(x) * (secxtanx) dx
= sec^(n-1)(x) * sinx - (n-2)∫ tan²x * sec^(n-2)(x) dx
= sinx * sec^(n-1)(x) - (n-2)∫ sec^(n-2)(x) * (sec²x-1) dx
= sinx * sec^(n-1)(x) - (n-2)*L + (n-2)∫ sec^(n-2)(x) dx
[1+(n-2)]*L = sinx * sec^(n-1)(x) + (n-2)∫ sec^(n-2)(x) dx
L = [sinx * sec^(n-1)(x)]/(n-1) + (n-2)/(n-1) * ∫ sec^(n-2)(x) dx
= ∫ sec^(n-2)(x) * sec²x dx
= ∫ sec^(n-2)(x) d(tanx)
= sec^(n-2)(x) * tanx - ∫ tanx d[sec^(n-2)(x)]
= sec^(n-1)(x) * 1/secx * sinxsecx - (n-2)∫ tanx * sec^(n-3)(x) * (secxtanx) dx
= sec^(n-1)(x) * sinx - (n-2)∫ tan²x * sec^(n-2)(x) dx
= sinx * sec^(n-1)(x) - (n-2)∫ sec^(n-2)(x) * (sec²x-1) dx
= sinx * sec^(n-1)(x) - (n-2)*L + (n-2)∫ sec^(n-2)(x) dx
[1+(n-2)]*L = sinx * sec^(n-1)(x) + (n-2)∫ sec^(n-2)(x) dx
L = [sinx * sec^(n-1)(x)]/(n-1) + (n-2)/(n-1) * ∫ sec^(n-2)(x) dx
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