已知动点圆过定点（p/2,0)且与直线x=-p/2相切,其中p>0(1)求动圆圆心C的轨迹方程（2）过点（p/2,0)的直线交动圆圆心C的轨迹于A,B两点,求向量OA*向量OB的值

Question

已知动点圆过定点（p/2,0)且与直线x=-p/2相切,其中p>0
(1)求动圆圆心C的轨迹方程
（2）过点（p/2,0)的直线交动圆圆心C的轨迹于A,B两点,求向量OA*向量OB的值

Answer 1

（1）依题意,动圆圆心到定点的距离和到定直线的距离相等,符合抛物线的定义,所以第一问直接得到动圆圆心轨迹方程y^2=2px.(或者你也可以设圆心P(x,y),到定点距离√(x-p/2)^2+y^2,到定直线距离为x+p/2,两距离相等解得方程,不过麻烦点).
（2）直线方程y=k(x-p/2),联立y^2=2px,然后韦达定理求得x1x2=p^2/4,再用抛物线方程求得y1y2=-p^2,所以向量OA*向量OB=x1x2+y1y2=-3p^2/4.