如图,在矩形ABCD中,M为DC边中点,AB=2,BC=1,H是BM上异于点B的一动点,求向量AH·向量HB的最小值.

Question

如图,在矩形ABCD中,M为DC边中点,AB=2,BC=1,H是BM上异于点B的一动点,求向量AH·向量HB的最小值.

Answer 1

向量AH=向量AB+向量BH

向量AH=向量AB-向量HB

向量AH·向量HB=向量AB·向量HB-向量HB^2

=2·|HB|cos45-|向量HB|^2

= - |向量HB|^2+√2·|向量HB|

令t=|向量HB|,则,

向量AH·向量HB= - t^2+√2t =f(t)  (t∈[0,√2],抛物线开口向下,对称轴为：t=√2/2,卡在中央；

最小值为f(0),或f(√2)

f(min)=f(0) = 0; 

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|a|=1

|b|=1

|a+b|=2=|a|+|b|; 

根据课本结论：

|a+b|≤|a|+|b|;当a,b同向共线时取等号,

所以,a=b

a=b=(1/2)(a+b)=(√3/2,1/2)