向量应用 (1)在RT三角形ACB中,AD是斜边BC上的高,用向量法证明：AD^2=BD*DC

Question

向量应用 (1)
在RT三角形ACB中,AD是斜边BC上的高,用向量法证明：AD^2=BD*DC

Answer 1

证明：
∵∠A为直角
即AB⊥AC
∴向量AB·向量AC=0
∵向量AB=向量AD+向量DB
向量AC=向量AD+向量DC
向量AD⊥向量DC
∴
（向量AD+向量DB）（向量AD+向量DC）=0
（向量AD）^2+向量AD·向量DC+向量DB·向量AD+向量DB·向量DC=0
∵向量AD⊥向量DC
向量AD⊥向量DB
∴向量AD·向量DC=向量AD⊥向量DB=0
即
AD^2-向量BD·向量DC=0
∵向量BD·向量DC=|BD|*|DC|*cos0°=BD*DC
即
AD^2=BD*DC