已知sinα+cosα=m,(|m|

Question

已知sinα+cosα=m,(|m|

Answer 1

设 x =cos α,y =sin α.
则 x +y =m,①
x^2 +y^2 =1.②
①^2 -② 得
2 xy =m^2 -1,
即 xy =(1/2) (m^2 -1).③
由①③知,x,y 是方程
z^2 -mz +(1/2) (m^2 -1) =0.④
的两根.
所以 Δ =m^2 -2(m^2 -1)
=2 -m^2.
(1) 当 |m|=0.
解④ 得
z1 =(m +√Δ)/2,
z2 =(m -√Δ)/2.
又因为 |m| ≠1,
所以 z1,z2 ≠0.
i) 若 sin α =(m +√Δ)/2,
cos α =(m -√Δ)/2,
则 tan α = (m +√Δ) / (m -√Δ)
= (1 +m√Δ) /(m^2 -1).
ii) 若 sin α =(m -√Δ)/2,
cos α =(m +√Δ)/2,
则 tan α = (m -√Δ) / (m +√Δ)
= (1 -m√Δ) /(m^2 -1).
(2) 当 √2