函数f(x)=x^2+aln(x+1) 求f(x)的单调区间 若函数F（x）=f（x）+ln（根号2）有两个极值点a b 且 a小于b证明F(b)大于1/4 第一问已做完 第二问不知怎么证明

Question

函数f(x)=x^2+aln(x+1) 求f(x)的单调区间 若函数F（x）=f（x）+ln（根号2）有两个极值点a b 且 a小于b
证明F(b)大于1/4 第一问已做完 第二问不知怎么证明

Answer 1

函数f(x)=x²+aln(x+1) ,求f(x)的单调区间； 若函数F（x）=f（x）+ln√2有两个极值点x₁,x₂,
且 x₁1/4 .(在这里不要再用a、b,因为函数式子里有a,这会混淆)
(1).f ′(x)=2x+a/(x+1)=(2x²+2x+a)/(x+1)=2(x²+x+a/2)/(x+1)
=2{x-[-1-√(1-2a)]/2}{x-[-1+√(1-2a)]/2}/(x+1)
=2{x-[-1-√(1-2a)]/2}{x-[-1+√(1-2a)]/2}/(x+1)
当1-2a≧0,即a≦1/2时,在区间(-∞,-1-√(1-2a)]∪[-1,-1+√(1-2a)]内f′(x)≦0,即f(x)在此区间
内单调减；在区间[-1-√(1-2a),-1]∪[-1+√(1-2a),+∞)内f′(x)≧0,即f(x)在此区间内单调增.
(2).F(x)=x²+aln(x+1)+ln√2
令F′(x)=2x+a/(x+1)=2(x²+x+a/2)/(x+1)=0,得x²+x+a/2=0,故得驻点：
x₁=[-1-√(1-2a)]2；x₂=[-1+√(1-2a)]/2；x₁是极大点,x₂是极小点.当a=1/2时获得x₂的极小值-1/2,此时F(x₂)是F(x)的极小值中的最小的,即有：
F(x₂)=F(-1/2)=1/4+(1/2)ln(1/2)+ln√2=1/4-(1/2)ln2+(1/2)ln2=1/4
当a-1/2,此时必有F(x₂)>1/4.