本人初三刚毕业,衔接作业上竟然有二项式定理,网上找公式看都看不懂,以一个初三学生的水平.

Question

本人初三刚毕业,衔接作业上竟然有二项式定理,网上找公式看都看不懂,以一个初三学生的水平.

Answer 1

是一个两项和的乘方的展开式的定理,一般用公式表示：
（x+a)^n=C(n,0)a^0x^n+C(n,1)a^1x^(n-1)+C(n,2)a^2x^(n-2)+……+C(n,n)a^nx^0
规律：共n+1项；每一项均由三部分组成,以第k（k=0,1,……,n)项为例,第一部分C(n,k)叫组合数,分子是从n开始的递减的k个连续数的乘积,分母是1到k的k个连续数的乘积,实际上是个整数,C(n,0)=C(n,n)=1,这些系数是对称的,就是历史上有名的杨辉三角形；第二部分是a的k次方；第三部分是x的n-k次方.
它是和的平方、和的立方的推广,所以放在衔接作业上并不奇怪.
实际上,只要得出他的一系列系数,二项展开式就很容易做出,例如
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
很容易继续写下去,因为两端是1,中间的每一个都是上面一行相邻两个的和.
由此,（x+a)^2=x^2+2ax+a^2 系数1,2,1
（x+a)^3=x^3+3ax^2+3a^2x+a^3 系数1,3,3,1
（x+a)^4=x^4+4ax^3+6a^2x^2+4a^3x+a^4 系数1,4,6,4,1
（x+a)^5=x^5+5ax^4+10a^2x^3+10a^3x^2+5a^4x+a^5 系数1,5,10,10,5,1
……