某同学用一根粗细均匀的铁棒，将一个边长为a的正方形重物箱撬起一个很小的角度（如图所示，图中的角度已被放大）．已知：铁棒单位长度受到的重力为P1；重物的重力为G．现将铁棒的一

Question

某同学用一根粗细均匀的铁棒，将一个边长为a的正方形重物箱撬起一个很小的角度（如图所示，图中的角度已被放大）．已知：铁棒单位长度受到的重力为P₁；重物的重力为G．现将铁棒的一端插入箱底，在另一端施加一个向上的力撬动重物箱．如果插入的长度为箱宽的(1)/(4)，并保持该长度不变，则当选用的铁棒长度满足什么条件时，施加的力最小，此最小的力为多大？

Answer 1

设铁棒长为L，动力为F．由题可知铁棒的重力提供的阻力，作用点在铁棒的重心上，阻力臂为(L)/(2)；因重物箱的密度均匀且铁棒插入的长度为箱宽的四分之一，则重物的一半重力提供阻力（即只有一半的重力压在杠杆上），阻力臂为(a)/(4)；力F提供动力，动力臂为L．由杠杆的平衡条件得
F₁L₁=F₂L₂
(a)/(4)•(G)/(2)+（LP₁）•(L)/(2)=FL
故人对杠杆的力：
F=((aG)/(8)+(P1L2)/(2))/(2)=(aG)/(8L)+(P1)/(2)L
由数学知识a²+b²≥2ab，当a=b时取最小值，可得：
当(aG)/(8L)=(P1)/(2)L时，即L=(1)/(2)√((aP1)/(G))时F有最小值．
F的最小值为：F=(1)/(2)√((aG)/(P1))．
答：当选用的铁棒长度为L=(1)/(2)√((aP1)/(G))时，施加的力最小；这个最小的力是F=(1)/(2)√((aG)/(P1))．