若函数f(x)对于任意实数x都有f(x)=f(x-a)+f(x+a)(常数a为正整数),则f(x)是否为周期函数?若是的话求出它的一个周期.各位大哥大姐我就是不明白为什么这里f(x+2a)=-f(x-a)即f(x+3a)=-f(x)则f(x+6a)=-f(x+3a)=f(x)

Question

若函数f(x)对于任意实数x都有f(x)=f(x-a)+f(x+a)(常数a为正整数),则f(x)是否为周期函数?若是的话求出它的一个周期.
各位大哥大姐
我就是不明白为什么这里
f(x+2a)=-f(x-a)
即
f(x+3a)=-f(x)
则f(x+6a)=-f(x+3a)=f(x)
这几步我懵了，麻烦讲讲为什么、

Answer 1

是 6a
f(x)=f(x-a)+f(x+a),f(x+a)=f(x)+f(x+2a);
两式相加,得:
0=f(x-a)+f(x+2a),f(x-a)=-f(x+2a);f(x)=-f(x+3a)=f(x+6a),所以周期是6a
补充一下：把式中的x换成x+a就能得到等式～