离散傅里叶级数系数有什么物理意义

Question

离散傅里叶级数系数有什么物理意义

Answer 1

离散傅里叶级数系数的物理意义：
傅立叶变换是以时间为自变量的信号和以频率为自变量的频谱函数之间的一种变换关系.
由于自变量时间和频率可以是连续的,也可以是离散的,因此可以组成几种不同的变换对
非周期的连续时间,连续频率-----傅里叶变换
正变换
X(jΩ)={-∞,+∞}x(t)*exp^-jΩt dt
反变换
x（t）=1/2π{-∞,+∞} X(JΩ)*e^jΩt dt
由于数字信号处理是希望在计算机上实现各种运算和变换,其所涉及的变量和运算都是离散的,而前面三种傅里叶变换对中,时域或频域中至少有一个域是连续的,所以都不可以在计算机上进行运算和实现,因此对于数字信号处理,应该找到在时域和频域都是离散的傅里叶变换,即离散傅里叶变换
前面的讨论已经得出结论:时域的周期性导致频域的离散型,时域的连续函数在频域形成非周期频谱；而时域的离散型造成频域的周期延拓,时域的非周期性对应于频域的连续函数形式.那么对于时域和频域都是离散的离散傅里叶变换,应该形成时域和频域都具有周期性的函数.
在工程实际中经常遇到的模拟信号xn(t),其频谱函数Xn(jΩ)也是连续函数,为了利用DFT对xn(t)进行谱分析,对xn(t)进行时域采样得到x(n)= xn(nT),再对x(n)进行DFT,得到X(k)则是x(n)的傅里叶变换X(ejω)在频率区间[0,2π]上的N点等间隔采样,这里x(n)和X(k)都是有限长序列
然而,傅里叶变换理论证明,时间有限长的信号其频谱是无限宽的,反之,弱信号的频谱有限款的则其持续时间将为无限长,因此,按采样定理采样时,采样序列应为无限长,这不满足DFT的条件.实际中,对于频谱很宽的信号,为防止时域采样后产生‘频谱混叠’,一般用前置滤波器滤除幅度较小的高频成分,使信号的贷款小于折叠频率；同样对于持续时间很长的信号,采样点数太多也会导致存储和计算困难,一般也是截取有限点进行计算.上述可以看出,用DFT对模拟信号进行谱分析,只能是近似的,其近似程度取决于信号带宽、采样频率和截取长度