求当k为何值时,关于x的方程4k-3x/k+2=2x的解分别是1正数,2负数

Question

求当k为何值时,关于x的方程4k-3x/k+2=2x
的解分别是1正数,2负数

Answer 1

显然k≠0,因为在分母上出现了.
于是原方程可化为：
4k²－3x＋2k＝2kx
也就是（2k＋3）x＝4k²＋2k
如果2k＋3＝0,那么k＝－3/2,这样4k²＋2k＝6,方程化为0x＝6,无解.
所以2k＋3≠0,也就是k≠－3/2.
这样方程的解是x＝（4k²＋2k）/（2k＋3）.
当然也可以写作x＝2k（2k＋1）/（2k＋3）……
【1】若方程的解为正数
那么就是说x＝2k（2k＋1）/（2k＋3）＞0
也就是（2k＋3）与2k（2k＋1）同号.
》当2k＋3＞0,即k＞－3/2时,2k（2k＋1）＞0,这又说明2k与（2k＋1）同号.
》》如果2k＞0,也就是k＞0,显然有2k＋1＞0成立.
》》如果2k＜0,也就是k＜0,解2k＋1＜0得到k＜－1/2.
》》这样2k（2k＋1）＞0的解集就是k＜－1/2或k＞0.
》所以此时k的范围是－3/2＜k＜－1/2或k＞0.
》当2k＋3＜0,即k＜－3/2时,2k（2k＋1）＜0,这又说明2k与（2k＋1）异号.
》》如果2k＞0,也就是k＞0,显然2k＋1＜0永远不成立.
》》如果2k＜0,也就是k＜0,解2k＋1＞0得到k＞－1/2.
》》这样2k（2k＋1）＜0的解集就是－1/2＜k＜0.
》所以此时实数k不存在.因为k＜－3/2与－1/2＜k＜0没有交集.
所以当－3/2＜k＜－1/2或k＞0时方程的解是正数.
【2】
过程同【1】,可以得出当k＜－3/2或－1/2＜k＜0时方程的解是负数.
注：要是学过高次不等式的解法,求出x＝2k（2k＋1）/（2k＋3）后,
解x＞0时可以转化成求2k（2k＋1）（2k＋3）＞0,通过数轴,答案一目了然.