高风!AnX^n+...+A1X+A0=0有个整数根为R求证：R是A0的一个因数下面那帅哥。我没看懂。帮忙解释下那个B什么的

Question

高风!
AnX^n + ...+ A1X + A0 = 0 有个整数根为R
求证：R是A0 的一个因数
下面那帅哥。我没看懂。帮忙解释下那个B什么的

Answer 1

补一个条件：A0,A1,...,An是整数.
AnX^n + ...+ A1X + A0 = 0 有个整数根为R,
那么必然有（X-R)(BnX^(n-1)+.+B1X+B0)=0
展开后有：BnX^n+.+（R*B1＋B0)X+R*B0=0
比较两个多项式,有：A0=R*B0,A1=R*B1+B0,...,An=Bn
若B0不是整数,由于X的一次项R*B1+B0＝A1是整数,所以B1必然不是整数.
以此类推,B2,B23,...,Bn都不是整数.
然而Bn=An,An是整数,矛盾.所以,B0必然是整数.
再加上A0=R*B0,所以,R是A0的一个因数.
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X的N次多项式,系数是An,...,A1,a0.
因式分解后,一个是(X-R),另一个是X的N-1次多项式,其系数是Bn-1,...,B1,B0.