在数列an中,a1等于1,an+1的平方等于4an,求an的通项公式

Question

在数列an中,a1等于1,an+1的平方等于4an,求an的通项公式

Answer 1

a(n+1) ^2=4an
平方项恒非负,要a(n+1)有解,4an≥0
an≥0
a1=1>0,假设当n=k(k∈N+)时,ak>0,则当n=k+1时
a(k+1) ^2=4ak >0
又a(k+1)≥0,因此a(k+1)>0
k为任意正整数,因此对于任意正整数n,an恒>0
//以上的判断过程必须有!不然没法确定an的正负!而且无法用对数求解!//
a(n+1)^2=4an
log4[a(n+1)^2]=log4(4an)
2log4 [a(n+1)]=log4 (an) +1
2log4[a(n+1)] -2=log4(an) -1
2[log4(a(n+1) -1]=log4(an) -1
[log4(a(n+1) -1]/[log4(an) -1]=1/2,为定值
log4(a1) -1=log4(1) -1=0-1=-1
数列{log4(an) -1}是以-1为首项,1/2为公比的等比数列
log4(an) -1=(-1)×(1/2)^(n-1)
log4(an) =1 - 1/2^(n-1)
an=4^[1- 1/2^(n-1)]
数列{an}的通项公式为an=4^[1- 1/2^(n-1)]