设等比数列{an}满足a1+a3=20，a2+a4=10，则a1a2a3..an的最大值为．

Question

设等比数列{a_n}满足a₁+a₃=20，a₂+a₄=10，则a₁a₂a₃..a_n的最大值为___．

Answer 1

设等比数列{a_n}的公比为q，∵a₁+a₃=20，a₂+a₄=10，
∴

a1(1+q2)=20

a1(q+q3)=10

，解得a₁=16，q=(1)/(2)．
∴a_n=16×((1)/(2))n-1=2^5-n．
则a₁a₂a₃..a_n=2^{4+3+…+（5-n）}=2(n(4+5-n))/(2)=2-(1)/(2)(n-(9)/(2))2+(81)/(8)，
当且仅当n=4或5时，a₁a₂a₃..a_n的最大值为2¹⁰．
故答案为：2¹⁰．