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已知a+b+c=0,a2+b2+c2=1,求ab+bc+ca和a4+b4+c4的值.
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已知a+b+c=0,a2+b2+c2=1,求ab+bc+ca和a4+b4+c4的值.
▼优质解答
答案和解析
a+b+c=0,两边平方得:
a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=0,
∵a2+b2+c2=1,
∴1+2ab+2bc+2ca=0,
∴ab+bc+ca=-
;
ab+bc+ca=-
两边平方得:
a2b2+b2c2+c2a2+2ab2c+2abc2+2a2bc=
,
即a2b2+b2c2+c2a2+2abc(a+b+c)=
,
∴a2b2+b2c2+c2a2=
,
∵a2+b2+c2=1,
∴两边平方得:a4+b4+c4+2a2b2+2b2c2+2c2a2=1,
∴a4+b4+c4=1-2(a2b2+b2c2+c2a2)=1-
=
.
故答案为:-
,
.
a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=0,
∵a2+b2+c2=1,
∴1+2ab+2bc+2ca=0,
∴ab+bc+ca=-
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ab+bc+ca=-
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a2b2+b2c2+c2a2+2ab2c+2abc2+2a2bc=
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即a2b2+b2c2+c2a2+2abc(a+b+c)=
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∴a2b2+b2c2+c2a2=
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∵a2+b2+c2=1,
∴两边平方得:a4+b4+c4+2a2b2+2b2c2+2c2a2=1,
∴a4+b4+c4=1-2(a2b2+b2c2+c2a2)=1-
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故答案为:-
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