已知函数f(x)＝ex，x∈R.(1)若直线y＝kx＋1与f(x)的反函数的图像相切，求实数k的值；(2)设x>0，讨论曲线y＝f(x)与曲线y＝mx2(m>0)公共点的个数．

Question

已知函数f(x)＝e ^x ，x∈R.
(1)若直线y＝kx＋1与f(x)的反函数的图像相切，求实数k的值；
(2)设x>0，讨论曲线y＝f(x)与曲线y＝mx ² (m>0)公共点的个数．

Answer 1

（1）k＝ （2）若0<m< ，曲线y＝f(x)与y＝mx ² 没有公共点；若m＝ ，曲线y＝f(x)与y＝mx ² 有一个公共点；若m> ，曲线y＝f(x)与y＝mx ² 有两个公共点

(1)f(x)的反函数为g(x)＝ln x.
设直线y＝kx＋1与g(x)＝ln x的图像在P(x ₀ ，y ₀ )处相切，则有y ₀ ＝kx ₀ ＋1＝ln x ₀ ，k＝g′(x ₀ )＝ ，
解得x ₀ ＝e ² ，k＝ .
(2)曲线y＝e ^x 与y＝mx ² 的公共点个数等于曲线y＝ 与直线y＝m的公共点个数．
令φ(x)＝ ，则φ′(x)＝ ，∴φ′(2)＝0.
当x∈(0，2)时，φ′(x)<0，φ(x)在(0，2)上单调递减；当x∈(2，＋∞)时，φ′(x)>0，φ(x)在(2，＋∞)上单调递增．
∴φ(x)在(0，＋∞)上的最小值为φ(2)＝ .
综上所述，当x>0时，大致图像如图所示，

若0<m< ，曲线y＝f(x)与y＝mx ² 没有公共点；
若m＝ ，曲线y＝f(x)与y＝mx ² 有一个公共点；
若m> ，曲线y＝f(x)与y＝mx ² 有两个公共点