函数f（x）=2x-ex+1．（1）求f（x）的最大值；（2）已知x∈（0，1），af（x）<tanx，求a的取值范围．

Question

函数f（x）=2x-e^x+1．
（1）求f（x）的最大值；
（2）已知x∈（0，1），af（x）<tanx，求a的取值范围．

Answer 1

（1）f（x）=2x-e^x+1，f′（x）=2-e^x，
令f′（x）>0，解得：xln2，
∴f（x）在（-∞，ln2）递增，在（ln2，+∞）递减，
∴f（x）的最大值是f（ln2）=2ln2-1；
（2）x∈（0，1）时，f（x）在（0，ln2）递增，在（ln2，1）递减，
且f（0）=0，f（1）=3-e>0，∴f（x）>0，
∵tanx>0，∴a≤0时，af（x）≤0a>0时，令g（x）=tanx-af（x），
则g′（x）=(1)/(cos2x)+a（e^x-2），
∴g（x）在（0，1）递增且g′（0）=1-a，
①0<a≤1时，g′（0）≥0，g′（x）≥0，
∴g（x）在（0，1）递增，又g（0）=0，
∴此时g（x）>0，即af（x）<tanx成立，
②a>1时，g′（0）<0，g′（1）>0，
∴∃x₀∈（0，1），使得g′（x₀）=0，
即x∈（0，x₀）时，g′（x）<0，g（x）递减，
又g（0）=0，
∴g（x）<0与af（x）<tanx矛盾，
综上：a≤1．