已知函数fx=ln(x+1)-e^x已知0≤x1＜x2,求证e^(x2-x1)＞1+ln[(x2+1)/(x1+1)]

Question

已知函数fx=ln(x+1)-e^x 已知0≤x1＜x2,求证e^(x2-x1)＞1+ln[(x2
+1)/(x1+1)]

Answer 1

-10
f(x)单调递增,
所以f(x)的最小值=f(0)=1.
0=f(0)=1
f(x2-x1)=e^(x2-x1)-ln(x2-x1+1)>1,
即e^(x2-x1)>1+ln(x2-x1+1),
又x2-x1+1>(x2+1)/(x1+1),
lnx在x>0时是增函数,所以
ln(x2-x1+1)>ln(x2+1)/(x1+1),
从而
e^（x2-x1）>1+In(x2+1)/(x1+1).
得证!