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如图,在四面体ABCD中,E,F分别是棱AD,BC上的点,且AEED=BFFC=12,已知AB=CD=3,EF=5,求异面直线AB和CD所成的角.
题目详情
如图,在四面体ABCD中,E,F分别是棱AD,BC上的点,且
=
=
,已知AB=CD=3,EF=
,求异面直线AB和CD所成的角.
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AE |
ED |
BF |
FC |
1 |
2 |
5 |
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▼优质解答
答案和解析
(如图)在BD上取靠近B的三等分点G,连接FG、GE,
在△BCD中,可得
=
,故有FG∥DC,
同理在△ABD中,可得GE∥AB,
所以∠EGF或其补角就是异面直线AB和CD所成角,
在△BCD中,由GE∥CD,CD=3,
=
,得FG=1,
在△ABD中,由EG∥AB,AB=3,
=
,得EG=2,
在△EFG中,由EG=2,FG=1,EF=
,则EG2+FG2=EF2,
由勾股定理的逆定理,可得∠EGF=90°,
所以异面直线AB和CD所成角为90°.
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在△BCD中,可得
BG |
GD |
BF |
FG |
同理在△ABD中,可得GE∥AB,
所以∠EGF或其补角就是异面直线AB和CD所成角,
在△BCD中,由GE∥CD,CD=3,
FG |
CD |
1 |
3 |
在△ABD中,由EG∥AB,AB=3,
EG |
AB |
2 |
3 |
在△EFG中,由EG=2,FG=1,EF=
5 |
由勾股定理的逆定理,可得∠EGF=90°,
所以异面直线AB和CD所成角为90°.
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