已知函数f（x）=xex-alnx，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）证明：b≤e时，f（x）≥b（x2-2x+2）．

Question

已知函数f（x）=xe^x-alnx，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）证明：b≤e时，f（x）≥b（x²-2x+2）．

Answer 1

（Ⅰ）函数f（x）=xe^x-alnx的导数为f′（x）=（x+1）e^x-(a)/(x)，x>0，
依题意得f′（1）=0，即2e-a=0，解得a=2e．
所以f′（x）=（x+1）e^x-(2e)/(x)，显然f′（x）在（0，+∞）单调递增且f′（1）=0，
故当x∈（0，1）时，f′（x）<0；当x∈（1，+∞）时，f′（x）>0．
所以f（x）的递减区间为（0，1），递增区间为（1，+∞）．
（Ⅱ）证明：①当b≤0时，由（Ⅰ）知，当x=1时，f（x）取得最小值为e．
又b（x²-2x+2）的最大值为b，故f（x）≥b（x²-2x+2）；
②当0<b≤e时，设g（x）=xe^x-2elnx-b（x²-2x+2），
所以g′（x）=（x+1）e^x-(2e)/(x)-2b（x-1），
令h（x）=（x+1）e^x-(2e)/(x)-2b（x-1），x>0，
则h′（x）=（x+2）e^x+(2e)/(x2)-2b，
当x∈（0，1）时，(2e)/(x2)-2b≥0，（x+2）e^x>0，所以h′（x）>0；
当x∈（1，+∞）时，（x+2）e^x-2b>0，(2e)/(x2)>0，所以h′（x）>0．
所以当x∈（0，+∞）时，h′（x）>0．，故h（x）在（0，+∞）上单调递增，
又h（1）=0，所以当x∈（0，1）时，g′（x）<0；
当x∈（1，+∞）时，g′（x）>0．
所以g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
所以当x=1时，g（x）取得最小值g（1）=e-b≥0，
所以g（x）≥0，即f（x）≥b（x²-2x+2）．
综上，当b≤e时，f（x）≥b（x²-2x+2）．