设f（x）=x8-x5+x2-x+1，则以下说法正确的是（）A．当x＞0，f（x）≤0B．∀x∈R，f（x）＜0C．∀x∈R，f（x）＞0D．以上均不正确

Question

设f（x）=x⁸-x⁵+x²-x+1，则以下说法正确的是（　　）

A．当x＞0，f（x）≤0
B．∀x∈R，f（x）＜0
C．∀x∈R，f（x）＞0
D．以上均不正确

Answer 1

当x=0时，f（x）=1＞0，
当x＞1，根据指数函数的性质可知x⁸＞x⁵，x²＞x，即x⁸-x⁵＞0，x²-x＞0，则f（x）=x⁸-x⁵+x²-x+1＞1，
当x=1时，f（x）=1，
若0＜x＜1，x²＞x⁵，1-x＞0，即f（x）=x⁸-x⁵+x²-x+1=x⁸+（x²-x⁵）+1-x＞0，
当x＜0，则x⁸＞0，-x⁵＞0，x²＞0，-x＞0，则f（x）=x⁸-x⁵+x²-x+1＞1，
综上f（x）=x⁸-x⁵+x²-x+1≥1，即∀x∈R，f（x）＞0成立．
故选：C