设函数f（x）=xx+2（x>0），观察：f1（x）=f（x）=xx+2（x>0），f2（x）=f（f1（x））=x3x+4，f3（x）=f（f2（x））=x7x+8

Question

设函数f（x）= (x)/(x+2)（x>0），观察：
f₁（x）=f（x）= (x)/(x+2)（x>0），f₂（x）=f（f₁（x））= (x)/(3x+4)，f₃（x）=f（f₂（x））= (x)/(7x+8)，f₄（x）=f（f₃（x））= (x)/(15x+16)…
根据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N⁺时，f_n（1）=___．

Answer 1

由题意，所给的函数式的分子不变都是x，而分母是由两部分的和组成，
第一部分的系数分别是1，3，7，15…2ⁿ-1，第二部分的数分别是2，4，8，16…2ⁿ
∴f_n（x）=f（f_n-1（x））=(x)/((2n-1)x+2n)，
∴f_n（1）=(1)/(2n+1-1)．
故答案为(1)/(2n+1-1)．