以△ABC的边AB、AC为边分别向三角形外作正方形ABEF和正方形ACGH,过A点作直线分别交BC、FH于D、M求证：（1）若AD⊥BC,则AD平分FH(2)若AD平分BC,则AD⊥FH

Answer 1

思路就是利用中线构造平行四边形
第一问：过F作FP‖AH,交AM的延长线于P,连接PH
∵∠FAB=∠HAC=90°,
∴∠FAH+∠BAC=180°=∠PFA+∠FAH,
∴∠BAC=∠PFA.
又AD⊥BC,∴∠ABD+∠BAD=90°=∠FAM+∠BAD．
∴∠FAP=∠ABD.又AB=AF,
∴ΔABC≌ΔFAP,∴AC=FP．
又AC=AH,∴AH=FP．
∴四边形AHPF为平行四边形.故AD平分FH.
第二问：延长AD至P,使得DP=AD,连接PB、PC,
则ABPC为平行四边形,易证ΔABP≌ΔFAH．
∴∠BAD=∠AFH．
∴∠AFH+∠FAM=∠BAD+∠FAM=180°-∠BAF=90°．
∴AD⊥FH