已知，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，M为BC的中点，∠ABC=2∠ACB．（1）如图1，N是AC的中点，连接DN，MN，求证：DM=12AB．（2）在图2中，DM=12AB是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，试

Question

已知，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，M为BC的中点，∠ABC=2∠ACB．

（1）如图1，N是AC的中点，连接DN，MN，求证：DM=(1)/(2)AB．
（2）在图2中，DM=(1)/(2)AB是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，试说明理由．

Answer 1

（1）∵AD⊥BC，
∴△ADC是直角三角形．
又∵N是AC边上的中点，
∴DN=(1)/(2)AC=NC，
∴∠NDC=∠ACD，
∵M，N分别是BC，AC的中点，
∴MN是△ABC的中位线，
∴MN=(1)/(2)AB，且MN∥AB，
∴∠ABC=∠NMC=∠NDM+∠DNM，
又∵∠ABC=2∠ACB=2∠DNC，
∴2∠NDC=∠NDM+∠DNM，
∴∠MDN=∠MND，
∴DM=MN．
∴DM=(1)/(2)AB；
（2）DM=(1)/(2)AB仍然成立，
理由如下：取AC的中点N，连接DN，MN．
∵AD⊥BC，
∴△ADC是直角三角形，
又∵N是AC边上的中点，
∴DN=(1)/(2)AC=NC．
∴∠NDC=∠ACD．
∵M，N分别是BC，AC的中点，
∴MN是△ABC的中位线，
∴MN=(1)/(2)AB且MN∥AB，
∴∠ABC=∠NMC=∠NDM+∠DNM，
又∵∠ABC=2∠ACB=2∠NDC，
∴2∠NDC=∠NDM+∠DNM，
即2∠NDM=∠NDM+∠DNM，
∴∠NDM=∠DNM，
∴DM=MN，
∴DM=(1)/(2)AB．