一圆柱形小永久磁铁中点为O，OX为磁铁的轴线（如图甲）、坐标为x处半径为a的环形线圈的磁通量可以表示为Φ=π（1-βx）a2B0，其中B0为已知常数，β为待定常数（线圈平面垂直于X轴、圆心在

Question

一圆柱形小永久磁铁中点为O，OX为磁铁的轴线（如图甲）、坐标为x处半径为a的环形线圈的磁通量可以表示为Φ=π（1-βx）a²B₀，其中B₀为已知常数，β为待定常数（线圈平面垂直于X轴、圆心在轴线上）．
（1）若磁铁静止，线圈从O点开始沿OX轴以速度v₀匀速运动，请写出线圈磁通量与时间t的函数关系式（β视为已知）．
（2）接（1），若测得此时线圈内的电动势大小恒为E₀，求β的表达式．
（3）上述原理可以用于测量磁体运动的速度．将上述线圈用N匝线圈代替并固定不动，半径仍为a，阻值为r．将阻值为R的电阻串联在线圈上，如图乙．当小磁铁沿线圈轴线穿过线圈时，测得电阻R的电压为U．设小磁铁作匀速运动，求此速度的大小（结果不能含待定常数β）．

Answer 1

（1）由题x=v₀t，
根据∅=BS，则有：
Φ=π（1-βx）a²B₀；
解得：Φ=π（1-βv₀t）a²B₀；
（2）由法拉第电磁感应定律有：E₀=(△∅)/(△t)=(△(π(1−βv0t)a2B0))/(△t)=πβv0a2B0
故有：β＝(E0)/(πa2B0v0)；
（3）设小磁铁穿过线圈时的电动势为E，则有：E＝N(△∅)/(△t)=πNβa²B₀v
又：U＝(E)/(R+r)r 
联立可得：v＝(U(R+r))/(rπNβa2B0)=(U(R+r))/(rNE0)v0；
答：（1）线圈磁通量与时间t的函数关系式Φ=π（1-βv₀t）a²B₀；
（2）β的表达式：β＝(E0)/(πa2B0v0)；
（3）此速度的大小(U(R+r))/(rNE0)v0．