将两块全等的三角板如图1摆放，其中∠A1CB1=∠ACB=90°，∠A1=∠A=30°．（1）将图1中△A1B1C绕点C顺时针旋转45°得图2，点P1是A1C与AB的交点，点Q是A1B1与BC的交点，求证：CP1=CQ；（2）在图2中，若AP

Question

将两块全等的三角板如图1摆放，其中∠A₁CB₁=∠ACB=90°，∠A₁=∠A=30°．
（1）将图1中△A₁B₁C绕点C顺时针旋转45°得图2，点P₁是A₁C与AB的交点，点Q是A₁B₁与BC的交点，求证：CP₁=CQ；
（2）在图2中，若AP₁=a，则CQ等于多少？
（3）将图2中△A₁B₁C绕点C顺时针旋转到△A₂B₂C（如图3），点P₂是A₂C与AP₁的交点．当旋转角为多少度时，有△AP₁C∽△CP₁P₂？这时线段CP₁与P₁P₂之间存在一个怎样的数量关系？．

Answer 1

（1）证明：∵∠B₁CB=45°，∠B₁CA₁=90°，
∴∠B₁CQ=∠BCP₁=45°；
又B₁C=BC，∠B₁=∠B，
∴△B₁CQ≌△BCP₁（ASA）
∴CQ=CP₁；

（2）如图：作P₁D⊥AC于D，
∵∠A=30°，
∴P₁D=(1)/(2)AP₁；
∵∠P₁CD=45°，
∴(P1D)/(CP1)=sin45°=(√(2))/(2)，
∴CP₁=√(2)P₁D=(√(2))/(2)AP₁；
又AP₁=a，CQ=CP₁，
∴CQ=(√(2))/(2)a；

（3）当∠P₁CP₂=∠P₁AC=30°时，由于∠CP₁P₂=∠AP₁C，则△AP₁C∽△CP₁P₂，
所以将图2中△A₁B₁C绕点C顺时针旋转30°到△A₂B₂C时，有△AP₁C∽△CP₁P₂．
这时(P1 P2)/(CP1)=(CP1)/(AP1)=

√(作业帮用户2016-11-22举报问题解析（1）根据△A1B1C和△ABC是两个完全一样的三角形，顺时针旋转45°两个条件证明△B1CQ≌△BCP1，然后可求证：CP1=CQ；（2）作P1D⊥AC于D，根据∠A=30，∠P1CD=45°分别求出P1D=(1)/(2)AP1，CP1=√(2)P1D=(√(2))/(2)AP1，而AP1=a可求CQ．（3）当△A P1C∽△CP1P2时，∠P1CP2=∠P1AC=30°，再根据相似求出CP1与P1P2之间存在的数量关系．名师点评本题考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；旋转的性质．考点点评：本题主要考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质及旋转的运用．扫描下载二维码©2020 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)