在正方体ABCD-A1B1C1D1中E，G，H分别为BC，C1D1，AA1的中点．（1）求证：EG∥平面BDD1B1；（2）求异面直线B1H与EG所成的角．

Question

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中E，G，H分别为BC，C₁D₁，AA₁的中点．
（ 1）求证：EG∥平面BDD₁B₁；
（ 2）求异面直线B₁H与 EG所成的角．

Answer 1

（1）证明：ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方体，E，G，H分别为BC，C₁D₁，AA₁的中点，
连结AC交BD于O连结DO，OE，
∵OE

∥

.

.

(1)/(2)CD，OD

∥

.

.

D1G
∴四边形OEGD₁为平行四边形
∴EG∥OD₁，又EG⊄面BDD₁B₁，OD₁⊂面BDD₁B₁，
∴EG∥平面BDD₁B₁．
（2）延长DB于M，使BM=(1)/(2)BD，
连结B₁M，HM，∠HB₁M为所求角．
设正方体边长为1，则B1M=(√(6))/(2)，B1H=(√(5))/(2)，AM=(√(10))/(2)，HM=(√(11))/(2)，
∴cos∠HB₁M=0，
∴B₁H与EG所成的角为90°．