如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是边长为2的正三角形，倒棱AA1⊥平面ABC，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，且EC=2FB=2．（Ⅰ）若点M是线段AC的中点，证明：（1）MB∥平面AEF；（2）平面AEF⊥平

Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面是边长为2的正三角形，倒棱AA₁⊥平面ABC，点E，F分别是棱CC₁，BB₁上的点，且EC=2FB=2．
（Ⅰ）若点M是线段AC的中点，证明：

（1）MB∥平面AEF；
（2）平面AEF⊥平面ACC₁A₁；
（Ⅱ）求三棱锥B-AEF的体积．

Answer 1

（Ⅰ）证明：（1）取线段AE的中点G，连结MG，
则MG=(1)/(2)EC=BF，又MG∥EC∥BF，
∴MBFG是平行四边形，故MB∥FG．
而FG⊂平面AEF，MB⊄平面AEF，
∴MB∥平面AEF；
（2）∵MB⊥AC，平面ACC₁A₁⊥平面ABC，
∴MB⊥平面ACC₁A₁，而BM∥FG，
∴FG⊥平面ACC₁A₁．
∵FG⊂平面AEF，∴平面AEF⊥平面ACC₁A₁；
（Ⅱ） 作AD⊥BC于D，则AD⊥平面BEF，且AD=√(3)．
于是VA-BEF=(1)/(3)×S△BEF×AD=(1)/(3)×(1)/(2)×1×2×√(3)=(√(3))/(3)．
故VB-AEF=VA-BEF=(√(3))/(3)．