射影定理可以应用在任意三角形中吗?

Question

射影定理可以应用在任意三角形中吗?

Answer 1

射影
射影就是正投影,从一点到一条直线所作垂线的垂足,叫做这点在这条直线上的正投影.一条线段的两个端点在一条直线上的正投影之间的线段,叫做这条线段在这直线上的正投影,即射影定理.
直角三角形射影定理
直角三角形射影定理（又叫欧几里德(Euclid)定理）：直角三角形中,斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项.每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项.
　　公式 如图,Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD是斜边BC上的高,则有射影定理如下：
　　（1）（AD）^2=BD·DC,
　　（2）（AB）^2=BD·BC ,
　　（3）（AC）^2=CD·BC .
　　证明：在 △BAD与△ACD中,∠B+∠C=90°,∠DAC+∠C=90°,∴∠B=∠DAC,又∵∠BDA=∠ADC=90°,∴△BAD∽△ACD相似,∴ AD/BD＝CD/AD,即（AD）^2=BD·DC.其余类似可证.
　　注：由上述射影定理还可以证明勾股定理.由公式（2）+（3）得：
　　（AB）^2+（AC）^2=BD·BC+CD·BC =（BD+CD)·BC=（BC）^2,
　　即 （AB）^2+（AC）^2=（BC）^2.
　　这就是勾股定理的结论.
任意三角形射影定理
　任意三角形射影定理又称“第一余弦定理”：
　　设⊿ABC的三边是a、b、c,它们所对的角分别是A、B、C,则有
　　a＝b·cosC＋c·cosB,
　　b＝c·cosA＋a·cosC,
　　c＝a·cosB＋b·cosA.
　　注：以“a＝b·cosC＋c·cosB”为例,b、c在a上的射影分别为b·cosC、c·cosB,故名射影定理.
　　证明1：设点A在直线BC上的射影为点D,则AB、AC在直线BC上的射影分别为BD、CD,且
　　BD=c·cosB,CD=b·cosC,∴a=BD+CD=b·cosC＋c·cosB. 同理可证其余.

证明2：由正弦定理,可得：b=asinA/sinB,c=asinC/sinA=asin(A+B)/sinA=a(sinAcosB+cosAsinB)/sinA
　　=acosB+(asinB/sinA)cosA=a·cosB＋b·cosA. 同理可证其余.