已知函数.（1）当时，求函数在上的最大值；（2）令，若在区间上不单调，求的取值范围；（3）当时，函数的图象与轴交于两点，且，又是的导函数.若正常数满

Question

已知函数 .
（1）当 时，求函数 在 上的最大值；
（2）令 ，若 在区间 上不单调，求 的取值范围；
（3）当 时，函数 的图象与 轴交于两点 ，且 ，又 是 的导函数.若正常数 满足条件 .证明： .

Answer 1

已知函数 .
（1）当 时，求函数 在 上的最大值；
（2）令 ，若 在区间 上不单调，求 的取值范围；
（3）当 时，函数 的图象与 轴交于两点 ，且 ，又 是 的导函数.若正常数 满足条件 .证明： .

（1）－1；（2） ；（3）详见解析.

试题分析：（1）根据利用导数求函数在闭区间上的最值的方法即可求得.
（2）首先将 代入得 ，然后求导： .
在区间 上不单调，那么方程 在（0，3）上应有实数解，且不是重根即解两侧的导数值小于0.
将方程 变形分离变量得： .下面就研究函数 ，易得函数 在 上单调递增，所以 ，（ ）.结合图象知， 时， 在（0，3）上有实数解.这些解会不会是重根呢？
由 得： ，若有重根，则 或 .这说明 时，没有重根. 由此得： .
（3） 时， ，所以 . 有两个实根 ，则将两根代入方程，可得 .
再看看待证不等式： ，这里面不仅有 ，还有 ，那么是否可以消去一些字母呢？
将

作业帮用户 2017-10-21

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