丶如题、、、、、、、、、、、、如图,D为线段AF上一点,AD=a,DF=b(b＜a）,以AD,DF为边在直线AF的同侧分别作正方形ABCD和DGEF,M为BE上一点,且∠CGM=45°（1）求证：M是线段BE的中点；（2）在线段AF上

Question

丶如题、、、、、、、、、、、、
如图,D为线段AF上一点,AD=a,DF=b(b＜a）,以AD,DF为边在直线AF的同侧分别作正方形ABCD和DGEF,M为BE上一点,且∠CGM=45°（1）求证：M是线段BE的中点；（2）在线段AF上是否有一点N,设AN=x,如果∠BNE=90°,求证：x=a或x=b,假设点N不与D重合,试想线段MN与BE的位置关系,说明理由.

Answer 1

(1)
延长EG交AB于H
连接BE的中点M'和EH中点I
M'I=BH/2=(a-b)/2
GI=EI-EG=(a+b)/2-b=(a-b)/2=M'I
∠CGM'=90-∠IGM'=45°
M'和M重合.M为BE中点
(2)∠BNE=90°
BN^2+EN^2=BE^2=BH^2+EH^2
BN^2=AB^2+AN^2=a^2+x^2
EN^2=EF^2+FN^2=b^2+(a+b-x)^2=a^2+2b^2+x^2+2ab-2ax-2bx
BH^2=(a-b)^2=a^2-2ab+b^2
EH^2=(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
2a^2+2b^2+2x^2+2ab-2ax-2bx=2a^2+2b^2
x^2+ab-ax-bx=0
(x-a)(x-b)=0
x=a 或 x=b
(3)点N不与D重合,那么取x=b
此时NF=AF-AN=a+b-b=a=AB
AN=b=EF
直角三角形BAN全等于直角三角形NFE
BN=NE,三角形BNE为等腰直角三角形
且M为BE中点,MN垂直于BE