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求证垂直平分线连接A(4,3,-1),B(2,5,3)的线段是平面方程(用高数知识)
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求证垂直平分线连接A(4,3,-1),B(2,5,3)的线段是平面方程(用高数知识)
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答案和解析
设曲面π垂直平分连接A(4,3,-1),B(2,5,3)的线段,C为A、B的中点,P(x,y,z)为π上不与C重合的任意一点
显然C=(3,4,1)
连接AB的直线的方向向量可取为:(2-4,5-3,3+1)=(-2,2,4)
连接PC的直线的方向向量可取为:(x-3,y-4,z-1)
因为:PC⊥AB
所以:0=(-2,2,4)·(x-3,y-4,z-1)=-2(x-3)+2(y-4)+4(z-1)=-2x+2y+4z-6,即:x-y-2z+3=0
可见这是一个平面
显然C=(3,4,1)
连接AB的直线的方向向量可取为:(2-4,5-3,3+1)=(-2,2,4)
连接PC的直线的方向向量可取为:(x-3,y-4,z-1)
因为:PC⊥AB
所以:0=(-2,2,4)·(x-3,y-4,z-1)=-2(x-3)+2(y-4)+4(z-1)=-2x+2y+4z-6,即:x-y-2z+3=0
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