求证垂直平分线连接A（4,3,-1）,B（2,5,3）的线段是平面方程（用高数知识）

Question

求证垂直平分线连接A（4,3,-1）,B（2,5,3）的线段是平面方程（用高数知识）

Answer 1

设曲面π垂直平分连接A（4,3,-1）,B（2,5,3）的线段,C为A、B的中点,P(x,y,z)为π上不与C重合的任意一点
显然C=（3,4,1）
连接AB的直线的方向向量可取为：（2-4,5-3,3+1）=（-2,2,4）
连接PC的直线的方向向量可取为：（x-3,y-4,z-1）
因为：PC⊥AB
所以：0=（-2,2,4）·（x-3,y-4,z-1）=-2(x-3)+2(y-4)+4(z-1)=-2x+2y+4z-6,即：x-y-2z+3=0
可见这是一个平面