设函数f（x）满足xf′（x）-3f（x）=-6x2，由曲线y=f（x）与直线x=1及x轴所围成的平面图形D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积最小，则f（x）=6x2-7x36x2-7x3．

Question

设函数f（x）满足xf′（x）-3f（x）=-6x²，由曲线y=f（x）与直线x=1及x轴所围成的平面图形D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积最小，则f（x）=6x²-7x³6x²-7x³．

Answer 1

∵由xf′（x）-3f（x）=-6x²，得：f′(x)−(3)/(x)f(x)＝−6x，
这是一阶非齐次线性微分方程，其中：P(x)＝−(3)/(x)，Q（x）=-6x，
∴f(x)＝e∫(3)/(x)dx(−∫6xe−∫(3)/(x)dxdx+C)=Cx³+6x²，其中C为任意常数，
从而，由曲线y=f（x）与直线x=1及x轴所围成的平面图形D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为：
V(c)＝π

∫

10

f2(x)dx＝π((C2)/(7)+2C+(36)/(5))，
令：V′(c)＝π((2C)/(7)+2)＝0，解得：C=-7，
而：V″(C)＝(2π)/(7)＞0，故：C=-7为最小点，
因此所求函数为：f（x）=6x²-7x³．