微积分,高手来看看看图说话,谢谢这个面积元素怎么来的？第一类曲面积分的面积元素是怎么推导出来的？高手帮忙讲一下，谢了！

Question

这个面积元素怎么来的？ 第一类曲面积分的面积元素是怎么推导出来的？

高手帮忙讲一下，谢了！

Answer 1

首先取曲面上的任意一个极小曲面s,由于该曲面极小,故该s近似于斜面（平面）.如果不理解,那么,想象一下,地球是圆的不?你们学校的操场相对于地球的表面是不是也算一个极小的曲面s?你在你们学校看操场可曾觉得它是曲面?我想应该没有这么感觉过吧,不出意外你一定觉得这是个平面,而非曲面?对吗?
同理,该空间中的曲面,当你所取的曲面极小时（也就是一个极小的s）,这个s也就近似于一个平面啦,相当于你们学校的操场,对吗?所以这时我们可以把它当做一个平面来处理了.并且这个平面与曲面在这个点处的切面重合（即是s,因为s极小,也可以视为一个点啦）,想象一下到这里问题也就差不多解决啦,自己想想接下来怎么做.不行的话继续看看.
高中立体几何还记得吗?一个空间中的斜面（记作M）,它在xoy面的,投影面积,等于M的面积乘以 M面与xoy面的夹角的余弦值.所以,我们可以记前面所取 s 在面 xoy的投影面积 为 （/deta/变量符号 暂且用*代替）*x * *y,即使 dx * dy 如果这个不懂得话 从头看起吧.
把前面所取的s,的面积也记作 s ,所以 dx*dy=ds * cos m & (m 记作s面与xoy面的夹角).
现在不妨认为所取 s 处的坐标为（x,y,z） ,前面已经说过面s 与该点的曲面切线重合,所以一切求的s 处的法向量,（用x y表示）,cos m ,怎么算就不用说了吧 ,在带入前面的 & 式 在将ds 放在一边 故得 你所给推理中的 第三个式子 把这事式子记作 && 式 只是记号有点不同（这明白吧）
最后 曲面的总面积,为 s 的累加,也就是ds的累加（s为极小量,所以用ds是一样的,不懂得话问老师或者看微积分一把）,因为s,（ds）为无穷小 所以 累加符号 即是积分号,&& 两边积分,有ds 那边 积分（全部累加起来)也就是 曲面总面积 S ,&& 另一边便是 以dxdy 为积分元素的 积分.
只是说明一下思路,由于不知道怎么表示那些特殊符号,表述不怎么清楚,还望理解,假如你是数学系的就应该深究证明的思路,方法,推理和表达.如果是工科的话,只要能理解证明的思路即可,不必去深究那些细枝末节,（例如为什么s 可以视为平面之类 ）,理科则不甚了解.还有 学习微积分 一定要有 对 形 的想象力,把握微积分的基本思想 ,工科微积分也就学的差不多啦.
最后,微积分思想的 优美 伟大,不要成了只会套公式考试的机器