有界数列是否一定收敛精品求解答

Question

有界数列是否一定收敛【精品求解答

Answer 1

答：有界数列不一定是收敛数列,例如,摆动数列
是有界的,因对一切n,有 ,但它是发散的；而数列
也是有界的,因对一切n,有 ,但数列是收敛的,有.
无界数列一定是发散的,因为如果它是收敛的,根据收敛数列是有界的,得出数列有界的结论.
[答]如果数列{ }满足：对一切的n,有
其中M 是与n 无关的常数,称数列{
}上有界（有上界）,并称M 是它的一个上界；如果数列{
}满足：对一切的n,有
,其中m 是与n 无关的常数,称数列{
}下有界（有下界）,
并称m 是它的一个下界.数列上有界,下有界与数列有界的关系是：数列有界的充分必要条件是数列
,即上有界又下有界.证明如下：
充分性证明,设数列{ }上有界且下有界,则存在常数m 和M,使对一切的n 有取 =
,那么
且对一切的n,有,即
所以数列{ }有界.
必要性证明：设数列{ }有界,则对一切的n,存在正常数
,有或,
取m= ,M=
,则对一切的n,有
同时成立,故数列{ }上有界且下有界.
有界,因而收敛.当数列 { }单调递减,那么它的第一项 就是它的一个上
界,因此有下界,则该数列有界,因而收敛.