如图,已知在正方形ABCD中,AB=2,P是边BC上的任意一点,E是边BC延长线上一点,联结AP,过点P作PF⊥AP,与∠DCE的平分线CF相交于点F,联结AF,与边CD相交于点G,联结PG（1）求证：AP=FP（2）⊙P、⊙G的半径分

Answer 1

（1）在AB上取一点M,使BM＝BP 因为正方形ABCD中,∠B＝∠DCB＝90度,AB＝BC 故：∠BPM＝∠BMP＝45度,AM＝PC,∠BAP＋∠BPA＝90度 因为CF平分∠DCE 故：∠DCF＝∠FCE＝45度 故：∠AMP＝∠PCF＝135度 又PF⊥AP,故：∠FPC＋∠BPA＝∠APF＝90度 故：∠BAP＝∠FPC 故：△AMP≌△PCF（ASA） 故：AP=FP （2）因为AP=FP,PF⊥AP 故：∠PAG＝45度,故：∠BAP＋∠DAG＝45度 把△ABP绕A逆时针旋转90度,使AB与AD重合,P点旋转到N点 故：AP＝AN,DN＝BP,∠DAN＝∠BAP 因为∠ADG＝∠B＝90度 故：N、D、G三点在同一条直线上 故：∠GAN＝∠DAG＋∠DAN＝∠DAG＋∠BAP＝45度 因为AG＝AG 故：△APG≌△ANG 故：PG＝NG＝GD＋DN＝GD＋BP 因为⊙P、⊙G的半径分别是PB和GD 故：⊙P与⊙G两圆的位置关系是外切 （3）如果PG‖CF,则：∠GPC＝∠ECF＝45度 故：∠GPC＝∠PGC＝45度 故：PC＝CG 故：BP＝GD 设：BP＝GD＝x,因为AB=2,PG＝GD＋BP 故：PC＝CG=2-x,PG=2x 在Rt△PCG中,PG²＝PC²＋CG² (2x )²＝(2-x) ²＋(2-x) ² 故：x=2√2-2 故：当BP取2√2-2时,PG‖CF