m和n是正整数,存在正整数k满足等式（1/n²)+﹙1/m²﹚=k/﹙n²＋m²﹚,正整数k的值是?

Question

m和n是正整数,存在正整数k满足等式（1/n²)+﹙1/m²﹚=k/﹙n²＋m²﹚,正整数k的值是?

Answer 1

（1/n²)+﹙1/m²﹚=k/﹙n²＋m²﹚ (n²+m²)/n²+(n²+m²)/m²=k
所以k=1+(m²/n²)+(n²/m²)+1
=2+(m²/n²)+(n²/m²)
≥2+2√[(m²/n²)(n²/m²)]
=2+2
=4
当且仅当n=m时等号成立
因为存在正整数k满足等式（1/n²)+﹙1/m²﹚=k/﹙n²＋m²﹚
所以k≥4
所以正整数k的值为4,5,6……