对任意的质数p,求证：存在无穷多个正整数n使得p能整除（2^n-n)

Question

对任意的质数p,求证：存在无穷多个正整数n使得p能整除（2^n-n)

Answer 1

由费马小定理可以得到p | 2^(p-1) - 1
所以p | 2^(p-1) - 1-p = 2^(p-1) - (p+1)
所以设n = k(p^2-1)
那么2^n = [2^(p^2-1)]^k = [2^(p-1)]^(k(p+1)) = (-1)^(k(p+1)) = 1 (mod p)
所2^n - n = 1 - k(p^2-1) = 1 + k (mod p)
所以只要k = tp -1那么2^n-n = 1 - 1 = 0 (mod p)
所以对于任意n = (tp - 1)(p^2-1),都有p | 2^n-n
也就是存在无穷多个正整数n使得p能整除（2^n-n)