设p（≥5）是质数，并且2p+1也是质数．求证：4p+1是合数．

Question

设p（≥5）是质数，并且2p+1也是质数．求证：4p+1是合数．

Answer 1

证明：由于p是大于3的质数，故p不会是3k的形式，从而p必定是3k+1或3k+2的形式，k是正整数．
若p=3k+1，则2p+1=2（3k+1）+1=3（2k+1），是合数，与题设矛盾；
所以p=3k+2，这时4p+1=4（3k+2）+1=3（4k+3）．
所以4p+1是合数．