如图，⊙O的半径是2，直线l与⊙O相交于A、B两点，M、N是⊙O上的两个动点，且在直线l的异侧，若∠AMB=45°，则四边形MANB面积的最大值是（）A．82B．62C．42D．22

Question

如图，⊙O的半径是2，直线l与⊙O相交于A、B两点，M、N是⊙O上的两个动点，且在直线l的异侧，若∠AMB=45°，则四边形MANB面积的最大值是（　　）

A．8√(2)
B．6√(2)
C．4√(2)
D．2√(2)

Answer 1

过点O作OC⊥AB于C，交⊙O于D、E两点，连结OA、OB、DA、DB、EA、EB，如图，
∵∠AMB=45°，
∴∠AOB=2∠AMB=90°，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴AB=√(2)OA=2√(2)，
∵S_{四边形MANB}=S_△MAB+S_△NAB，
∴当M点到AB的距离最大，△MAB的面积最大；当N点到AB的距离最大时，△NAB的面积最大，
即M点运动到D点，N点运动到E点，
此时四边形MANB面积的最大值=S_{四边形DAEB}=S_△DAB+S_△EAB=(1)/(2)AB•CD+(1)/(2)AB•CE=(1)/(2)AB（CD+CE）=(1)/(2)AB•DE=(1)/(2)×2√(2)×4=4√(2)．