若递增数列Xn满足X1=1/2,且4Xn*Xn+1=(Xn+Xn+1-1/2)^2,求Xn

Question

若递增数列Xn满足X1=1/2,且4Xn*Xn+1=(Xn+Xn+1-1/2)^2,求Xn

Answer 1

4x[n]*x[n+1]=(x[n]+x[n+1]-1/2)^2 (1)
4x[n+1]*x[n+2]=(x[n+1]+x[n+2]-1/2)^2 (2)
(2)-(1) 4x[n+1]*(x[n+2]-x[n])=(x[n]+2x[n+1]+x[n+2]-1)(x[n+2]-x[n])
由于递增函数x[n],x[n+2]-x[n]>0
4x[n+1]=x[n]+2x[n+1]+x[n+2]-1
x[n+2]=2x[n+1]-x[n]+1
由x[1]=1/2,可以计算得到x[2]=2
x[3]=2*x[2]-x[1]+1
x[4]=2*x[3]-x[2]+1=3x[2]-2x[1]+3
x[5]=2*x[4]-x[3]+1=4x[2]-3x[1]+6
x[6]=2*x[5]-x[4]+1=5x[2]-4x[1]+10
.
从规律中可以看出
则x[n]=(n-1)x[2]-(n-2)*x[1]+(n-2)*(n-1)/2
数学归纳法证明x3到xn规律成立即可
x[3]=(3-1)*x[2]-(3-2)*x[1]+(3-2)*(3-1)/2=2x[2]-x[1]+1显然成立
同理x[4]也成立
若x[n]=(n-1)x[2]-(n-2)*x[1]+(n-2)*(n-1)/2,x[n+1]=nx[2]+(n-1)x[1]+(n-1)n/2
由于x[n+2]=2x[n+1]-x[n]+1
x[n+2]=(n+1)x[2]+nx[1]+n(n+1)/2
与规律吻合,得证结论
代入想x[1]=1/2,x[2]=2
x[n]=n^2/2
x[1],x[2]也同样满足规律,不必分段处理
x[n]=n^2/2(n=1,2,...,n)