求证:5个连续整数的平方和不是平方数好的追分

Question

求证:5个连续整数的平方和不是平方数
好的追分

Answer 1

由平方和公式：1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
所以当n>=6时,连续5个自然数的平方和可表示如下：
n(n+1)(2n+1)/6-(n-5)(n-4)(2n-9)/6.n表示最后一项；
=5(n^2-4n+6)
5是一个质数,要是结果为完全平方数,那么n^2-4n+6必有一个因子是5；
所以n^2-4n+6=(n-2)^2+2其个位为5或者0；
(n-2)^2的个位不可能为8或者3,所以当然不可能存在符合要求的整数；
因此,命题得证；