证明3的2n+2次方-8n-9（n属于正整数）能被64整除

Question

证明 3的2n+2次方-8n-9（n属于正整数）能被64整除

Answer 1

3^(2n + 2) - 8n - 9
= 9*9^n - 8n - 9
= 9*(9^n - 1) - 8n
= 9*((8 + 1)^n - 1) - 8n ——下一步用二项式定理
= 9*((8^n + C[1]*8^{n-1} + ...+ C[n-2]*8^2 + C[n-1]*8 + 1) - 1) - 8n
其中,C[x]是二项式系数,而很容易知道C[1] = C[n-1] = n.
显然,括号内的前面所有的项都是64的倍数（有8的若干次方在）,只剩下C[n-1]*8 + 1 - 1需要考虑.将前面的所有项统统用64K表示.
3^(2n + 2) - 8n - 9
= 64K + 9*(8n) - 8n
= 64K + 64n
所以是64的倍数.
证毕.