（2014•青岛二模）如图，在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD为正方形，AE⊥平面CDE，已知AE=DE=2，F为线段DE的中点．（Ⅰ）求证：BE∥平面ACF；（Ⅱ）求二面角C-BF-E的平面角的余弦值．

Question

（2014•青岛二模）如图，在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD为正方形，AE⊥平面CDE，已知AE=DE=2，F为线段DE的中点．
（Ⅰ）求证：BE∥平面ACF；
（Ⅱ）求二面角C-BF-E的平面角的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）证明：连结BD和AC交于O，连结OF，…（1分）
∵ABCD为正方形，∴O为BD中点，
∵F为DE中点，∴OF∥BE，…（3分）
∵BE⊄平面ACF，OF⊂平面ACF，
∴BE∥平面ACF．…（4分）
（Ⅱ）∵AE⊥平面CDE，CD⊂平面CDE，
∴AE⊥CD，∵ABCD为正方形，∴CD⊥AD，
∵AE∩AD=A，AD，AE⊂平面DAE，∴CD⊥平面DAE，
∵DE⊂平面DAE，∴CD⊥DE…（6分）
∴以D为原点，以DE为x轴建立如图所示的坐标系，
则E（2，0，0），F（1，0，0），A（2，0，2），D（0，0，0）
∵AE⊥平面CDE，DE⊂平面CDE，∴AE⊥DE，∵AE=DE=2，
∴AD＝2√(2)，∵ABCD为正方形，∴CD＝2√(2)，∴C(0，2√(2)，0)，
由ABCD为正方形可得：

DB

＝

DA

+

DC

＝(2，2√(2)，2)，∴B(2，2√(2)，2)
设平面BEF的法向量为

n1

＝(x1，y1，z1)，

BE

＝(0，−2√(2)，−2)，

FE

＝(1，0，0)
由

n1

•

BE

＝0

n1

•

FE

＝0

⇒

−2√(2)y1−2z1＝0

x1＝0

，
令y₁=1，则z1＝−√(2)∴

n1

＝(0，1，−√(2))…（8分）
设平面BCF的法向量为

n2

＝(x2，y2，z2)，

BC

＝(−2，0，−2)，

CF

＝(1，−2√(2)，0)
由

n2

•

BC

＝0

n2

•

CF

＝0

⇒

−2x2−2z2＝0

x2−2√(2)y2＝0

，
令y₂=1，则x2＝2√(2)，z2＝−2√(2)，
∴

n2

＝(2√(2)，1，−2√(2))…（10分）
设二面角C-BF-E的平面角的大小为θ，则cosθ＝cos(π−＜

n1

，

n2

＞)＝−cos＜

n1

，

n2

＞＝−(n1•n2)/(|n1|•|n2|)
=−(1+4)/(√(3)×√(17))＝−(5√(51))/(51)
∴二面角C-BF-E的平面角的余弦值为−(5√(51))/(51)…（12分）