如图所示的几何体中，四边形ABCD是菱形，ADNM是矩形，平面ADNM⊥平面ABCD，∠DAB=π3，AD=2，AM=1，E是AB的中点．（Ⅰ）求证：DE⊥NC；（Ⅱ）在线段AM上是否存在点p，使二面角P-EC-D的大小为π6？

Question

如图所示的几何体中，四边形ABCD是菱形，ADNM是矩形，平面ADNM⊥平面ABCD，∠DAB=(π)/(3)，AD=2，AM=1，E是AB的中点．
（Ⅰ）求证：DE⊥NC；
（Ⅱ）在线段AM上是否存在点p，使二面角P-EC-D的大小为(π)/(6)？若存在，求出AP的长h；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）证明：菱形ABCD中，AD=2，AE=1，∠DAB=60°，∴DE=√(3)．
∴AD²=AE²+DE²，即∠AED=90o，∵AB∥DC，∴DE⊥DC   …①…（1分）
∵平面ADNM⊥平面ABCD，交线AD，ND⊥AD，ND⊂平面ADNM，∴ND⊥平面ABCD，
∵DE⊂平面ABCD，∴ND⊥DE  …②…（2分）
由①②及ND∩DC=D，∴DE⊥平面NDC
∴DE⊥NC                                                      …（4分）
（Ⅱ）设存在P符合题意．
由（Ⅰ）知，DE、DC、DN两两垂直，以D为原点，建立空间直角坐标系D-xyz（如图），

则D（0，0，0），A（√(3)，-1，0），E（√(3)，0，0），C（0，2，0），P（√(3)，-1，h）（0≤h≤1）．
∴

EP

=（0，-1，h），

EC

=（-√(3)，2，0），设平面PEC的法向量为

n

=（x，y，z），
则

−y+hz＝0

−√(3)x+2y＝0

，令x=2，则平面PEC的一个法向量为

n

=（2h，√(3)h，√(3)） …（7分）
取平面ECD的法向量

m

=（0，0，1），…（9分）
∴cos(π)/(6)=(√(3))/(√(7h2+3))，解得h=(√(7))/(7)∈[0，1]，
即存在点P，使二面角P-EC-D的大小为(π)/(6)，此时AP=(√(7))/(7)．               …（12分）